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终于找到汇总版的三角函数诱导公式了

数学加 2016-12-27 15: 50      浏览次数:
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三角函数内容其实还是挺多的,而且很容易混淆,数学加编辑希望大家能够认真推导一次,至少要知道来源和变化缘由,以便考试时迅速判断!来学起来吧!

数学加

常用的诱导公式有以下几组:

 公式一:设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

 sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

 cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

 tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

 cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

 公式二:设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

 sin(π+α)=-sinα

 cos(π+α)=-cosα

 tan(π+α)=tanα

 cot(π+α)=cotα

 公式三:任意角α与-α的三角函数值之间的关系:

 sin(-α)=-sinα

 cos(-α)=cosα

 tan(-α)=-tanα

 cot(-α)=-cotα

 公式四:利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

 sin(π-α)=sinα

 cos(π-α)=-cosα

 tan(π-α)=-tanα

 cot(π-α)=-cotα

 公式五:利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

 sin(2π-α)=-sinα

 cos(2π-α)=cosα

 tan(2π-α)=-tanα

 cot(2π-α)=-cotα

 公式六:π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:

 sin(π/2+α)=cosα

 cos(π/2+α)=-sinα

 tan(π/2+α)=-cotα

 cot(π/2+α)=-tanα

 sin(π/2-α)=cosα

 cos(π/2-α)=sinα

 tan(π/2-α)=cotα

 (以上k∈Z)

 注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。

 诱导公式记忆口诀

 上面这些诱导公式可以概括为:对于π/2*k±α(k∈Z)的三角函数值,

 ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;

 ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.(奇变偶不变),然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限)

 例如:sin(2π-α)=sin(4·π/2-α),k=4为偶数,所以取sinα。当α是锐角时,2π-α∈(270°,360°),sin(2π-α)<0,符号为“-”。所以sin(2π-α)=-sinα

 上述的记忆口诀是:奇变偶不变,符号看象限。

 公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆

 水平诱导名不变;符号看象限。

 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦(余割);三两切;四余弦(正割)”.这十二字口诀的意思就是说:第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”.

 上述记忆口诀,一全正,二正弦,三内切,四余弦

 两角和差公式

 两角和与差的三角函数公式

 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

 sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

 cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

 tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)

 tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

 二倍角公式

 二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

 sin2α=2sinαcosα

 cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

 tan2α=2tanα/[1-tan^2(α)]

 半角公式

 半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

 sin^2(α/2)=(1-cosα)/2

 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2

 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)

 另也有tan(α/2)=(1-cosα)/sinα=sinα/(1+cosα)

 万能公式

 sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]

 cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]

 tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

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