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如果你是图书管理员 你要知道图书上架里的数学

数学加 2018-02-02 15: 30      浏览次数:
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数学加编辑当年的梦想就是做一名图书管理员。但是从来没有想过图书管理员也要动脑子,也要有智慧。下面的趣味数学题就是很实用的图书上架问题。

数学加

 

将编号为1~n的n本书放入编号为1~n的n个书架上,要求编号为k的书只能放在编号为k-1或k或k+1的书架上,例如:当n=10时编号为1的书只能放在编号为1或2的书架上,编号为4的书只能放在编号为3或4或5的书架上,编号为10的书只能放在编号为9或10的书架上。那么,当n=4时一共有多少种放法?当n=10时又有多少种放法?

 

 

 

答案往下看

用f(n)表示有n本书时的放法数,易知f(1)=1,f(2)=2。

下面考虑n>2的情况,因为编号为1的书本只能放在1号或2号书架上:

(1)若放在1号书架上,则剩下的n-1本书有f(n-1)种放法;

(2)若放在2号书架上,此时编号为2的书本只能放在1号或3号书架上,若放在3号书架上,则1号书架无书可放,所以编号为2的书要只能放在1号书架上,此时剩下的n-2本书有f(n-2)种放法。

故f(n)=f(n-1)+(n-2)(n>2),事实上这是一个斐波那契数列。

有了这个递推关系,就可以得到f(3)=f(1)+f(2)=3,f(4)=(2)+f(3)=5,依次类推可得到f(10)=89。

即当n=4时一共有5种放法,当n=10时,一共有89种放法。


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