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有趣的象棋比赛里的数学问题

数学加 2018-01-12 10: 23      浏览次数:
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不知道同学们有没有注意过不同项目的竞技游戏的比赛规则。例如象棋比赛、围棋比赛、乒乓球比赛等。今天数学加编辑带来一个关于象棋比赛的数学题。

数学加

有若干人进行象棋比赛,他们每两人比赛一局,累计得分最高者为冠军。每局比赛胜者得2分,负者得0分,平局各得1分。已知冠军选手比其他选手胜的次数都要少。那么至少有多少人比赛?


分析与解答

答案:至少有6人参加比赛。

1、设有 n 人参加比赛,则每一个人都要和其他 n-1 人比赛一场,一共要比 n(n-1)/2 场。

2、根据积分规则,每一局的得分之和都为 2,所以得分的总和为 n(n-1)。这样每人的平均得分为 n-1 分,所以冠军的至少要得 n 分,也就是他至少要胜1 场,平 n-2 场。

3、对于剩余的 n-1 名选手,他们的得分总和至多为 n(n-1)-n=n(n-2),那么至少有一人得分不超过 n-2 分。

4、由于冠军比其他选手胜的次数都要少,因此,其他选手都至少要胜 2 场,即他们的得分至少为 4 分,因此 n-2≥4,即 n≥6。至少有6人参加比赛。

而 6 人是可行的:

A胜B,平C、D、E、F,积6分;

B胜C、D,负A、E、F,积4分;

C胜D、E,平A,负B、F,积5分;

D胜E、F,平A,负B、C,积5分;

E胜F、B,平A,负C、D,积5分;

F胜B、C,平A,负D、E,积5分。


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