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五年级奥数重点:最大公约数与最小公倍数

数学加 2016-08-18 16: 18      浏览次数:
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    小学数学的五年级奥数里,有个知识点还是很重要的,那就是最大公约数与最小公倍数。 数学加先用一个小故事来引入这个题目。


    有一天小明和爸爸一起乘公共汽车去青少年宫。他们俩坐的是3号车,快要出发的时候,1号车正好和他们同时出发,爸爸看着这两辆车出了个题目:

    如果1号车每3分钟发车一次,3号车每5分钟发车一次。假设在同一个起点站,这两辆车至少再过多少分钟后又能出发呢?

    小明想了想脱口而出“15分钟,因为3和5是互质数,求互质数的最小公倍数就等于这两

个数的乘积(3×5=15)所以15就是它们的最小公倍数。也就是这两辆车至少再过15分钟同时出发。”

    爸爸听了夸奖道:“答案正确!100分。”


    我们看看这个问题的变形题目!


    例1:用60元钱可以买一级茶叶144克,或买二级茶叶180克,或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋,要求每袋的价格都相等,那么每袋的价格最低是多少元钱?

数学加

    分析与解:因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元,分装后每袋的价格相等,所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶,分装的袋数应相同,即分装的袋数应是144,180,240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低,所以分装的袋数应尽量多,应是144,180,240的最大公约数。

    所以(144,180,240)=2×2×3=12,即每60元的茶叶分装成12袋,每袋的价格最低是60÷12=5(元)。为节约篇幅,除必要时外,在求最大公约数和最小公倍数时,将不再写出短除式。

    例2:用自然数a去除498,450,414,得到相同的余数,a最大是多少?

    分析与解:因为498,450,414除以a所得的余数相同,所以它们两两之差的公约数应能被a整除。

    498-450=48,450-414=36,498-414=84。所求数是(48,36,84)=12。


    例3:现有三个自然数,它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中,最大的可以是多少?

    分析与解:只知道三个自然数的和,不知道三个自然数具体是几,似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111,它们的公约数一定是1111的约数。因为1111=101×11,它的约数只能是1,11,101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111,1111不可能是三个自然数的公约数,而101是可能的,比如取三个数为101,101和909。所以所求数是101。

    例4:在一个30×24的方格纸上画一条对角线(见下页上图),这条对角线除两个端点外,共经过多少个格点(横线与竖线的交叉点)?

数学加

    分析与解:(30,24)=6,说明如果将方格纸横、竖都分成6份,即分成6×6个相同的矩形,那么每个矩形是由(30÷6)×(24÷6)=5×4(个)

    小方格组成。在6×6的简化图中,对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线,所以经过5个格点(见左下图)。在对角线所经过的每一个矩形的5×4个小方格中,对角线不经过任何格点(见右下图)。

    所以,对角线共经过格点(30,24)-1=5(个)。

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