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等量关系列方程的技巧:孩子学奥数的一定要看

数学加 2016-07-22 14: 48      浏览次数:
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    原本以为列方程解应用题是初中高中的事情,结果发现小学奥数的时候就初见端倪了。原来在小学奥数里,有个难点是找等量关系问题,里面就用到了列方程。所以孩子学奥数的一定要看下面的内容:如何寻找相等关系列方程解应用题。

    列一元一次方程解应用题,首先要根据题意及题中的数量关系,找出能够反映应用题全部含义的一个相等关系,然后再设未知数布列方程求解。对于条件表达不够明确的应用题,可用如下的方法寻找相等关系。

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    一、动态问题静止看

    静态的问题是指题中关系对应的量处于相对稳定的状态,而动态的问题则是指题中条件所表达的是不断变化的相等关系,对于这类问题,要善于在动中取静,以静制动。

    例1.运动场的跑道一圈长400m,甲练习骑自行车,平均每分钟骑350m,乙练习跑步,平均每分钟跑250m。两人从同一处同时反向出发,经过多长时间首次相遇?

    分析:甲、乙两人出发后,所走过的路程、时间都在发生变化,但跑道的长度是固定不变的,是一个静态量,首次相遇即甲与乙走的路程和为400m,据此,可布列方程求解。

    设两人经过x分首次相遇,根据题意,得

    350x+250x=400

    解得x=,即经过分两人首次相遇。

    二、变化之中找不变

    许多问题情景是在不断变化的,但在变化的问题情景中,肯定存在着不变量,找到这个不变量,我们就可以次为相等关系布列方程。

    例2.某校组织师生春游,若单独租用45座的客车若干辆,则刚好坐满;若单独租用60座的客车,则可以少租一辆,且空余30个座位.试问该校有多少人参加春游?

    分析:无论采用哪种租车方式,该校参加春游的人数是不变的,故可以此为相等关系,即租45座客车的坐车人数=租60座客车的坐车人数,采用间接设元的方法布列方程求解。

    设租45座客车x辆,则租60座客车(x-1)辆,根据题意得

    45x=60(x-1)-30,解得 x=6.

    于是45x=45×6=270(人)

    即该校参加春游的人数是270人。

    三、隐含条件摆“桌面”

    显性的相等关系是指根据所给的条件及所学的公式、性质、定律等一目了然就能看出的相等关系,而隐性的相等关系则是指问题中有一些隐含的条件,这类条件如果不认真去挖掘、分析,摆到“桌面”上,就不能清晰地看出其中的相等关系。

    例3.哥哥对弟弟说:“当我像你这么大年龄时,你才3岁,而当你到了我现在的年龄时,我就24岁了”根据以上对话,你能算出兄弟两人现在的年龄吗?

    分析:此题初看似乎没有明显的等量关系可寻,但生活经验告诉我们,年龄问题中隐含着的条件是“要长都长”,也即兄弟两人的年龄差不变.据此条件,并借助于线段图,可知题目蕴藏着的等量关系是:3×年龄差=24-3。

    设兄弟两人的年龄差为x岁,根据题意,得

    3x=24-3, 解得x=7.

    于是弟弟的年龄为3+7=10(岁),

    哥哥的年龄为24-7=17(岁)。

    四、虚实相生关系现

    在应用题中,除了有实实在在的条件外,有时还要人为地虚构一些条件,来帮助我们去寻找相等关系而解题.例如设辅助未知数(又称参数),它在题目的条件中没有给出,在解答的结果中也不存在,但正是这些虚拟的条件,却起到了“桥梁”的作用,能快速地渡我们过河。

    例4.某超市在“十一黄金周”期间为了促销一批库存的商品,先将该商品提价20%,然后再打折销售,为了使该商品打折后与调价前的销售价格相同,问该商品应按几折销售?

    分析:此题要求“该商品按几折销售”,但题目中没有直接给出涨价后的价格,由题意知,涨价后的价格与原标价有关系,若将原标价设为a元,进而可将涨价后的价格表示出来,使得题目中的数量关系明朗化,根据提价并打折后销售价格与原标价相等,即可列出方程。

    设该商品的原标价为a元,提价20%后应按x折销售,

    根据题意,得(1+20%)a=a.

    解得x=8.5,即该商品应按八五折销售。

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